Hugoprépas : site des classes préparatoires du lycée Victor Hugo

Développements limités usuels : il s'agit d'être capable d'écrire ces DL à l'ordre 4, rapidement et sans erreur.

$\frac{1}{1-X}, \frac{1}{1+X}, \ln(1+X), \frac{1}{1+X^2}, \arctan(X), (1+X)^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbf{R}$ fixé.
$\exp(X), \mathrm{ch}(X), \mathrm{sh}(X), \cos(X), \sin(X), \tan(X)$.

Compléments d'algèbre linéaire : §I Trace et matrices semblables, §II Polynômes d'endomorphismes et de matrices, §III.1 Interpolation de Lagrange
Séries numériques : tout le chapitre.

(§I.1) Trace d'un produit de matrices (rectangulaires)
(§I.2) La relation de similitude est une relation d'équivalence
(§I.3) Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant et même rang.
(§III.1) Théorème d'interpolation polynomiale : pour tous $(a_0, \ldots, a_n) \in \mathbf{K}^{n+1}$ distincts, pour tous $b_0, \ldots, b_n \in \mathbf{K}$, il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ valant $b_j$ en chanque $a_j$.
(§III.1) Les polynômes interpolateurs de Lagrange forment une base de $\mathbf{K}_n[X]$
(§III.1) Formule explicite des $L_k$.
(§III.1) La somme des $L_k$ vaut 1.

Exercice 10 : Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie $n$ admet un polynôme annulateur non nul (de degré au plus $n^2$.

(§I.1) Maîtriser les règles de calcul formel sur les traces.
(§I.2) Savoir écrire la matrice d'une application linéaire dans un couple de bases (une base pour les endomorphismes)
(§I.2) Maîtriser la formule de changement de base pour les endomorphismes.
(§I.3, ex. 4) Nier que deux matrices sont semblables à l'aide de la trace (du déterminant, du rang)
(ex. 4) Montrer que deux matrices sont semblables par un raisonnement par analyse-synthèse.
(§II.1 ex. 7) Calculer l'image d'un vecteur par un polynôme d'endomorphisme
(ex. 10bis) Trouver un polynôme annulateur d'un matrice en résolvant le système $M^n = \alpha_{n-1} \, M^{n-1} + \cdots + \alpha_1 \, M + \alpha_0 \, \mathrm{I}_n$.
(ex. 11) Trouver l'inverse d'une matrice (resp. la réciproque d'un endomorphisme) à l'aide d'un polynôme annulateur
(ex. 12) Calculer les puissances d'une matrice $M$ à l'aide des restes des divisions euclidiennes du polynôme X^n par un polynôme annulateur de $M$
(ex. 13) Expliciter les polynômes annulateurs de Lagrange. Décomposer un polynôme sur cette base. Calculer le polynôme annulateur de degré au plus $n$ des points $(a_j, b_j), 0 \leq j \leq n$.

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