Hugoprépas 3

Révisions

• Suites arithmético-géométriques :
lorsque $\forall n \geq n_0, \; u_{n+1} = a \, u_n + b$,
savoir calculer le terme général de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$.

• Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 :
lorsque $\forall n \geq n_0, \; u_{n+2} = a \, u_{n+1} + b \, u_n$,
savoir calculer le terme général de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$.

• Amplitude et phase d'une combinaison linéaire de cosinus et sinus :
$a$ et $b$ étant deux réels donnés,
savoir calculer $A \geq 0$ et $\varphi \in \mathbb R$ tels que $a \, \cos(\theta) + b \, \sin(\theta) = A \, \cos(\theta + \varphi)$.

• Théorème du rang pour les endomorphismes : sous l'hypothèse que l'espace de départ est de dimension finie.

Chapitres au programme

• Compléments d'algèbre linéaire : Tout sauf §V. Sous-espaces stables et calcul matriciel par blocs.

Démonstrations à connaître

Compléments d'algèbre linéaire

• (§III.1) Théorème d'interpolation polynomiale : pour tous $(a_0, \ldots, a_n) \in \mathbb{K}^{n+1}$ distincts, pour tous $b_0, \ldots, b_n \in \mathbb{K}$, il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ valant $b_j$ en chanque $a_j$.
• (§III.1) Les polynômes interpolateurs de Lagrange forment une base de $\mathbb{K}_n[X]$
• (§III.1) Formule explicite des $L_k$.
• (§III.1) La somme des $L_k$ vaut 1.
• (§IV.2) Une somme de s.e.v. est un s.e.v. ; quand les s.e.v. sont de dimension finie, leur somme est de dimension finie, majorée par la somme des dimensions.
• (§IV.3) Caractérisations des sommes directes : par l'unicité de la décomposition du vecteur nul ; par l'intersection dans le cas de deux s.e.v. ; par les dimensions.

Exercices classiques à savoir refaire

• Exercice 10 : Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie $n$ admet un polynôme annulateur non nul (de degré au plus $n^2$).
• Exercice 16 : Si $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$, la famille des $f_k \colon x \mapsto \mathrm{e}^{\lambda_k x}$ est libre (preuve à l'aide d'un déterminant de Vandermonde)
• Exercice 17 : Un exemple de déterminant tri-diagonal.
• Exercice 19 : $\mathcal M_n(\mathbb K) = \mathcal S_n(\mathbb K) \oplus \mathcal A_n(\mathbb K)$ en raisonnant par analyse-synthèse.

Compétences attendues

• Écriture des ensembles en compréhension : $\{ \mathit{objet} \in \mathit{ensemble} \mathrel/ \mathit{propriété} \}$
et en extension : $\{ \mathit{objet\;fabriqué} \mathrel; \mathit{paramètre} \in \mathit{ensemble} \}$

• Familles libres, génératrices et bases (TD ex. 1)
• Trouver une base d'un s.e.v. défini par des équations (TD ex. 3)
• Règles de calcul sur les déterminants : combinaisons de rangées, développement, caractère alterné.
• Utiliser le déterminant pour montrer/infirmer qu'une famille est une base (TD ex. 1, ex. 4)