Hugoprépas 3

Révisions

• Suites arithmético-géométriques :
lorsque $\forall n \geq n_0, \; u_{n+1} = a \, u_n + b$,
savoir calculer le terme général de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$.

• Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 :
lorsque $\forall n \geq n_0, \; u_{n+2} = a \, u_{n+1} + b \, u_n$,
savoir calculer le terme général de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$.

• Amplitude et phase d'une combinaison linéaire de cosinus et sinus :
$a$ et $b$ étant deux réels donnés,
savoir calculer $A \geq 0$ et $\varphi \in \mathbb R$ tels que $a \, \cos(\theta) + b \, \sin(\theta) = A \, \cos(\theta + \varphi)$
y compris lorsque $\varphi$ s'exprime comme à l'aide d'un arc-tangente

• Théorème du rang pour les endomorphismes : sous l'hypothèse que l'espace de départ est de dimension finie.

• Calcul de primitives et d'intégrales sur un segment :
Connaissance du formulaire de primitives usuelles
Linéarité et changement de variables : primitives de $x \mapsto \alpha\,f(x) + \beta\,g(x)$, de $x \mapsto f\bigl( u(x) \bigr) \times u'(x)$
Intégration par parties pour reformuler l'intégrale d'un produit

Chapitres au programme

• Compléments d'algèbre linéaire : Tout le chapitre.

Démonstrations à connaître

Compléments d'algèbre linéaire

• (§IV.2) Une somme de s.e.v. est un s.e.v. ; quand les s.e.v. sont de dimension finie, leur somme est de dimension finie, majorée par la somme des dimensions.
• (§IV.3) Caractérisations des sommes directes : par l'unicité de la décomposition du vecteur nul ; par l'intersection dans le cas de deux s.e.v. ; par les dimensions.
• (§IV.4) Théorème de fractionnement/juxtapostion de base(s)
• (§V.1) Sous-espaces automatiquement stables
• (§V.2) Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Exercices classiques à savoir refaire

• Exercice 16 : Si $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$, la famille des $f_k \colon x \mapsto \mathrm{e}^{\lambda_k x}$ est libre (preuve à l'aide d'un déterminant de Vandermonde)
• Exercice 17 : Un exemple de déterminant tri-diagonal.
• Exercice 19 : $\mathcal M_n(\mathbb K) = \mathcal S_n(\mathbb K) \oplus \mathcal A_n(\mathbb K)$ en raisonnant par analyse-synthèse.
• Exercice 22 : Base adaptée à $\mathcal M_n(\mathbb K) = \mathcal S_n(\mathbb K) \oplus \mathcal A_n(\mathbb K)$
• Exercice 26 : Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon (à l'aide de déterminants triangulaires par blocs).

Compétences attendues

• Écriture des ensembles en compréhension : $\{ \mathit{objet} \in \mathit{ensemble} \mathrel/ \mathit{propriété} \}$
et en extension : $\{ \mathit{objet\;fabriqué} \mathrel; \mathit{paramètre} \in \mathit{ensemble} \}$

• Familles libres, génératrices et bases (TD ex. 1)
• Prouver qu'un ensemble est un s.e.v. : à l'aide de la définition ; en l'écrivant $\mathrm{Vect}(\mathcal F)$ ; en l'écrivant $\mathrm{ker}(f)$ ou $\mathrm{im}(f)$
• Trouver une base d'un s.e.v. défini par des équations (TD ex. 3)
• Montrer qu'une application est linéaire
• Règles de calcul sur les déterminants : combinaisons de rangées, développement, caractère alterné.
• Utiliser le déterminant pour montrer/infirmer qu'une famille est une base (TD ex. 1, ex. 4)

• (§III.2) Reconnaître et calculer un déterminant de Vandermonde.
• (§IV.1) Calcul vectoriel dans un espace produit. Calculer la dimension d'un produit d'e.v.
• (§IV.2) Traduire l'hypothèse $x \in \sum_{k=1}^p F_k$
• (§IV.2) Fabriquer une famille génératrice d'une somme de s.e.v. en juxtaposant des familles génératrices
• (§IV.3) Démontrer qu'une somme de s.e.v. est directe à l'aide de la caractérisation appropriée au problème : définition ; unique décomposition du vecteur nul sur la somme ; dans le cas de deux s.e.v., en constatant que leur intersection est l'espace nul
• (§IV.3) Lorsqu'une somme de s.e.v. est directe, identifier les composantes d'un vecteur décomposé de deux manières sur cette somme (exercice 18)
• (§IV.4) Montrer que des s.e.v. sont supplémentaires : par la définition ; en prouvant que $\sum F_k$ est directe et que $\sum \dim (F_k) = \dim(E)$ ; par fractionnement de bases
• (§V.1) Montrer qu'un s.e.v. est stable par un endomorphisme : par la définition ; en utilisant une famille génératrice ; en reconnaissant un s.e.v. « automatiquement » stable
• (§V.2) Effectuer du calcul par blocs sur les matrices : combinaisons linéaires, produits, transposées
• (§V.2) Reconnaître et calculer un déterminant triangulaire par blocs