Programme de colle, semaine 6Révisions
- Calcul de primitives et d'intégrales sur un segment : Connaissance du formulaire de primitives usuelles
- Intégration par parties sur un segment
- Formule de changement de variable pour les intégrales sur un segment
- Propriétés générales de l'intégrale sur un segment Révision des propriétés vues en première année
Linéarité et changement de variables : primitives de $x \mapsto \alpha\,f(x) + \beta\,g(x)$, de $x \mapsto f\bigl( u(x) \bigr) \times u'(x)$
Chapitres au programme
- Intégrales généralisées : §I, §II et §III.
- Compléments d'algèbre linéaire : Tout le chapitre.
Démonstrations à connaître
Intégrales généralisées
- (§III.3) Intégrales de référence : de Riemann en $+\infty$ et en $0^+$, d'exponentielles en $+\infty$, du logarithme en $0^+$.
- (§III.4) Relation de Chasles pour les intégrales généralisées
- (§III.4) Linéarité de l'intégrale généralisée
- (§III.4) Croissance de l'intégrale généralisée (à partir de la positivité et de la linéarité)
Compétences attendues
- (§I.1) Exploiter les primitives usuelles pour calculer des primitives (changement de variable notamment, mais aussi combinaisons linéaires et intégration par parties)
- (§I.2) Déterminer la forme que prend la décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle donnée. Déterminer efficacement les coefficients de cette décomposition.
- (§I.3) Calculer les primitives des éléments simples (des indications seront données pour les primitives de $x \mapsto \frac{1}{Q(x)^n}$, où $Q$ est un polynôme réel irréductible de degré 2 et $n$ un entier supérieur ou égal à 2)
- (§II.1) Reconnaître une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque, en justifiant succinctement.
- (§III.1) Étudier la nature d'une intégrale généralisée : préciser l'intervalle précis d'intégration, calculer les intégrales partielles, passer à la limite, conclure.