Hugoprépas 3

Chapitres au programme

• Réduction des matrices et des endomorphismes : tout le chapitre.
• Espaces vectoriels normés, suites de vecteurs : tout le chapitre.

Démonstrations à connaître

Espaces vectoriels normés, suites de vecteurs

• (§I.1) Normes 1 et ∞ sur $\mathbb K^n$ ; norme 2 sur $\mathbb R^n$ seulement.
• (§I.1) Deuxième inégalité triangulaire.
• (§I.3) Une partie $A$ d'un EVN est non bornée si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ dont la norme tend vers l'infini.
• (§I.3) Les suites de vecteurs d'un EVN forment un s.e.v. de $\mathbb K^{\mathbb N}$.
• (§I.4) Les boules ouvertes sont convexes.
• (§II.2) Unicité de la limite d'une suite de vecteurs.
• (§II.6) Opérations algébriques sur les limites : norme / somme / produit externe de limites.

Exercices classiques

• (Ex. 1) Un exemple de norme sur $\mathbb K[X]$
• (Ex. 3) Prouver que deux normes ne sont pas équivalentes en étudiant le comportement d'une suite bien choisie.

Compétences attendues

• (§I.1) Démontrer qu'une application est une norme : (0) bonne définition (application correctement définie sur $E$, à valeurs dans $\mathbb R$) (1) séparation (2) homogénéité (3) inégalité triangulaire.
• (§I.1) Utiliser qu'une somme de réels positifs est nulle seulement si tous ses termes sont nuls.
• (§I.1) Manipuler les $\max$ : (1) si $k ≥ 0$, $\max\limits_{x \in A}\bigl( k \mathbin. \phi(x) \bigr) = k \mathbin. \max\limits_{x \in A}\bigl( \phi(x) \bigr)$ (2) majorer un maximum en majorant les éléments par une constante.
• (§I.2, norme euclidienne sur $\mathbb R^n$) Dans le cas des normes « avec des carrés et une racine carrée », introduire le produit scalaire dont elle semble être la norme euclidienne.
• (§I.2) Montrer qu'une application $\varphi$ est un produit scalaire : (0) bonne définition (1) symétrie (2) linéarité à gauche (3) positivité (4) définie positivité. Ralentir sur l'étape (4).
• (§I.2) Mobiliser l'inégalité triangulaire pour majorer des normes de sommes ou de différences.
• (§I.3) Montrer qu'une partie/suite/fonction est bornée en majorant des normes.
• (§I.4) Montrer qu'une partie est convexe grâce à la définition.
• (§II.2) Pour prouver une conjecture $\vec u_n \xrightarrow[n\to\infty]{\|\,\cdot\,\|} \vec \ell$, majorer $\| \vec u_n - \vec \ell \|$ par une quantité tendant vers 0 (théorème d'encadrement vectoriel)
• (§II.3) Montrer que deux normes données sont équivalentes en établissant les inégalités de la définition
• (§II.3) Nier l'équivalence de deux normes en exploitant le comportement d'une suite (caractère borné, convergence)
• (§II.4) En dimension finie, étudier la limite d'une suite de vecteurs en étudiant ses coordonnées dans une base