Hugoprépas 3

Chapitres au programme

• Séries entières : §I à §III + §IV.1 et §IV.3 : DSE usuels.

Démonstrations à connaître

Séries entières

• (§II.1) Lemme d'Abel
• (§II.1) Comportement de la série $\sum_{n \geq 0} a_n \, z^n$ et de la suite $(a_n \, z^n)_{n \geq 0}$ quand $|z| < R$ et quand $|z| > R$
• (§II.3) Rayon de convergence et somme du produit de Cauchy de deux séries entières
• (§III.1) Modes de convergence des séries entières de la variable réelle
• (§III.2) Caractère $\mathcal{C}^1$ de la somme d'une série entière
• (§IV.3) Preuve des DSE usuels suivants : $x \mapsto \frac{1}{1-x}$, $x \mapsto \ln(1+x)$, $x \mapsto \arctan(x)$, $x \mapsto \mathrm{e}^x$, $x \mapsto \mathrm{ch}(x)$.

Exercices classiques

Séries entières

• (ex. 4) Calcul du rayon de convergence par échantillonnage
• (ex. 5) Calcul du rayon de convergence par la règle de d'Alembert
• (ex. 6) Calcul du rayon de convergence à l'aide de relations de comparaison
• (ex. 13) Dérivation terme à terme de sommes de séries entières
• (ex. 15) Primitive d'une somme de série entière
• (ex. 16) Développements en série entière élémentaires

Compétences attendues

Séries entières

• (ex. 4) Calcul d'un rayon de convergence par conjecture, puis preuve par échantillonnage
• (§II.2) Utiliser la règle de d'Alembert pour trouver le rayon de convergence : directement sur les coefficients quand ils sont tous nuls APCR ; sur le terme général de la série quand la série est lacunaire
• (§II.3) Simplifier un calcul de rayon de convergence à l'aide de relations de comparaison (et de multiplications/divisions par $n$)
• (§II.4, ex.7) Calculer les coefficients d'un produit de Cauchy de deux séries entières
• (§II.4, ex.8) Utiliser que la somme du produit de Cauchy de deux séries entières est le produit des sommes des deux séries entières
• (§III.2) Dériver terme à terme une série entière sur son ouvert de convergence (autant de fois qu'on veut)
• (§III.3) Intégrer terme à terme une série entière sur un segment inclus dans l'ouvert de convergence
• (§III.3) Primitiver une somme de série entière sans oublier la valeur de la primitive en 0
• (§IV.1) Montrer qu'une fonction est développable en série entière en calculant ce développement en série entière par opérations sur les DSE usuels
• (§IV.3, preuve des DSE de $x \mapsto \mathrm{e}^x$ et de $x \mapsto (1+x)^\alpha$) Identifier la somme d'une série entière en montrant qu'elle est solution d'un problème de Cauchy, dont on sait obtenir la solution explicite
• (§IV.3, preuve du DSE de $x \mapsto (1+x)^\alpha$) Calculer formellement le DSE de $x \mapsto P(x) \, S'(x) + Q(x) \, S(x)$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes et $S$ la somme d'une série entière.