Hugoprépas : site des classes préparatoires du lycée Victor Hugo

(§I.1) Formule de l'espérance pour les variables aléatoires entières positives
(§I.2) Espérance des lois géométriques et de Poisson
(§II.1) Toute variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2 est d'espérance finie.
(§II.1) $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \bigl( \mathrm{E}(X) \bigr)^2$ et $\mathrm{V}(a\,X + b) = a^2 \, \mathrm{V}(X)$
(§II.4) Variance d'une somme de $n$ variables aléatoires
(§III.1) Fonctions génératrices des lois usuelles
(§IV.1) Inégalité de Markov
(§IV.1) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
(§IV.2) Loi faible des grands nombres

(§I.1, ex. 1, ex. 2) Calculer l'espérance d'une variable aléatoire : à l'aide de la définition, à l'aide de la formule spécifique aux variables entières positives
(§I.1, ex. 3) Calculer l'espérance de $f(X)$ à l'aide de la formule de transfert
(§I.2, ex. 4) Calculer l'espérance de $f(X, Y)$ à l'aide de la formule de transfert
(§I.3, ex. 5) Calculer l'espérance d'un produit de variables aléatoires indépendantes
(§II.1, ex. 6) Calculer une variance à l'aide de la formule de Huygens et de la formule de transfert
(§II.3, ex. 7) Calculer une covariance à l'aide de la formule de Huygens
(§II.4) Calculer la variance d'une somme : dans le cas où les variables sont indépendantes ; dans le cas où elles ne le sont pas
(§III.1) Calculer la fonction génératrice d'une variable aléatoire dont la loi est connue.
(§III.1) Calculer une loi en développant en série entière la fonction génératrice.
(§III.2) Étudier l'espérance et la variance d'une variable aléatoire à l'aide de sa fonction génératrice
(§III.3) Calculer la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoire indépendantes
(§IV.2) Calculer espérance et variance d'une moyenne empirique $\overline{X}_n$

(§I.1) Calculer la limite d'une suite d'intégrales à l'aide du théorème de convergence dominée
(§I.1, ex. 1 Q3) Gérer une suite d'intégrales dont les bornes ET l'intégrande dépendent de $n$
(§I.1, ex. 1 Q3) Dominer par une fonction $\phi$ ayant plusieurs expressions sur l'intervalle d'étude
(§I.2-3) Afin de calculer une intégrale, développer en série la fonction intégrée, puis prouver que l'interversion $\int$ / $\sum$ est légitime...
(§I.2, ex. 3) ... à l'aide du théorème d'intégration terme à terme
(§I.3, ex. 4) ... à l'aide du théorème de convergence dominée appliqué à la suite des sommes partielles $(S_n)$
(§II) Reconnaître une intégrale à paramètre $x \mapsto g(x)$ ; distinguer la variable d'intégration $t \in I$ du paramètre $x \in D$ ; poser la fonction $(t, x) \mapsto f(t, x)$ dont provient $g$ en précisant les intervalle $I$ et $D$ pertinents.
(§II) Pour établir une propriété de $g$, appliquer le théorème approprié en hiérarchisant bien les hypothèses :

hypothèse de domination

(§II) Mener à bien une domination : la fonction dominante ne dépend pas du paramètre, est intégrable par rapport à la variable d'intégration ; le paramètre peut être si besoin enfermé dans un segment, mais pas la variable d'intégration.

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