Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. On suppose rg$(u) \leq$rg$(v)$, quel est le rang maximum de $u\circ v$ rg$(u)+$rg$(v)$rg$(v)$rg$(u)$rg$(v)-$rg$(u)$ Soit $A$ une matrice inversible de $M_n(\mathbf{C}$. Laquelle des ces applications est linéaire?$M \in M_n(\mathbf{C}) \mapsto AMA^{-1}$$M \in M_n(\mathbf{C})\mapsto MA^tM$$M \in M_n(\mathbf{C})\mapsto A+M$$M \in M_n(\mathbf{C})\mapsto AM^{-1}$ Quel est le rang de l'application $M\in M_n(\mathbf{R}) \mapsto ^tM+M$ ?$n^2$$n$$\frac{n(n+1)}{2}$$\frac{n(n-1)}{2}$ Laquelle de ses applications linéaires admet un rang? $P\in \mathbf{R}[X] \mapsto P \circ (X^2+1)$$P\in \mathbf{R}[X] \mapsto \int_0^1 P(t) dt$$P\in \mathbf{R}[X] \mapsto (X^2+1)P$$P \in \mathbf{R}[X] \mapsto P'$ Soient $A$ et $b$ deux matrices de $M_n(\mathbf{C})$. Alors $AB$ et $BA$ ont toujoursmême tracemême diagonalemême rangmême noyau Soit $s$ une symétrie de $E$ de dimension $n$ par rapport à un sous-espace vectoriel de dimension $p$. Que vaut sa trace?tr$(s)=p$tr$(s)=n$tr$(s)=2p-n$tr$(s)=n-2p$ Si la matrice $A$ est semblable à son inverse dans $M_n(\mathbf{C})$, alorstr$(A)=0$$\det(A)=\pm 1$$A^2=I_n$cette situation ne peut pas se produire