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Espace privé 

Espaces vectoriels

par Edith METHOU le 17 août 2021
Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. On suppose rg$(u) \leq$rg$(v)$, quel est le rang maximum de $u\circ v$
  1. rg$(u)+$rg$(v)$
  2. rg$(v)$
  3. rg$(u)$
  4. rg$(v)-$rg$(u)$
Soit $A$ une matrice inversible de $M_n(\mathbf{C}$. Laquelle des ces applications est linéaire?
  1. $M \in M_n(\mathbf{C}) \mapsto AMA^{-1}$
  2. $M \in M_n(\mathbf{C})\mapsto MA^tM$
  3. $M \in M_n(\mathbf{C})\mapsto A+M$
  4. $M \in M_n(\mathbf{C})\mapsto AM^{-1}$
Quel est le rang de l'application $M\in M_n(\mathbf{R}) \mapsto ^tM+M$ ?
  1. $n^2$
  2. $n$
  3. $\frac{n(n+1)}{2}$
  4. $\frac{n(n-1)}{2}$
Laquelle de ses applications linéaires admet un rang?
  1. $P\in \mathbf{R}[X] \mapsto P \circ (X^2+1)$
  2. $P\in \mathbf{R}[X] \mapsto \int_0^1 P(t) dt$
  3. $P\in \mathbf{R}[X] \mapsto (X^2+1)P$
  4. $P \in \mathbf{R}[X] \mapsto P'$
Soient $A$ et $b$ deux matrices de $M_n(\mathbf{C})$. Alors $AB$ et $BA$ ont toujours
  1. même trace
  2. même diagonale
  3. même rang
  4. même noyau
Soit $s$ une symétrie de $E$ de dimension $n$ par rapport à un sous-espace vectoriel de dimension $p$. Que vaut sa trace?
  1. tr$(s)=p$
  2. tr$(s)=n$
  3. tr$(s)=2p-n$
  4. tr$(s)=n-2p$
Si la matrice $A$ est semblable à son inverse dans $M_n(\mathbf{C})$, alors
  1. tr$(A)=0$
  2. $\det(A)=\pm 1$
  3. $A^2=I_n$
  4. cette situation ne peut pas se produire

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