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Suites et séries de fonctions

par Edith METHOU le 25 août 2020
La suite de fonctions $x \mapsto E(x+1/n)$ avec $E$ la fonction partie entière converge simplement sur
  1. $\mathbf{R}$ tout entier
  2. $\mathbf{R}-\mathbf{Z}$
  3. $\mathbf{Z}$
Si chaque fonction $f_n$ est convexe sur $[-1;4]$ et $\sum f_n$ converge simplement sur $[-1;4]$ alors sa somme $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ est convexe.
  1. vrai
  2. faux
Si chaque fonction $f_n$ est croissante sur $[-1;4]$ et $\sum f_n$ converge simplement sur $[-1;4]$ alors $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ est croissante.
  1. vrai
  2. faux
Si chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbf{R}$ et $\sum f_n$ converge simplement sur $\mathbf{R}$ alors $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty f_n$ est continue
  1. vrai
  2. faux
Soit la fonction $\displaystyle f:x\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{2^n}$\\La fonction $f$ est continue sur $\mathbf{R}$?
  1. vrai
  2. faux
La fonction $f$ (cf avant) est impaire?
  1. vrai
  2. faux
la fonction $f$ (idem) est lipschitzienne?
  1. vrai
  2. faux

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