Programme de colle, semaine 3Je vous invite à l'imprimer ou le recopier, et à cocher les points lorsque vous estimez les maîtriser.
Si un point reste obscur, il vous appartient de me contacter pour l'éclairer.
Les § indiquent les parties du cours correspondantes ;
(ex. $n$) renvoie à un exercice du cours ;
(TD $n.p$) renvoie à l'exercice de la feuille de TD $n$, exercice $p$ ;
(♠) indique un point plus difficile ; assurez déjà les bases avant de l'étudier.
Cours à savoir
La précision de vos connaissances est très importante, et sera évaluée.Vous devez savoir restituer rapidement et avec précision tous les énoncés des définitions, propriétés et théorèmes présents dans le cours au programme cette semaine :
- Compléments d'algèbre linéaire : en entier.
Démonstrations à savoir
- §IV Caractérisation des hyperplans en dimension finie
- §V.2 $\dim \left( \sum_{k=1}^p F_k \right) \leq \sum_{k=1}^p \dim(F_k)$ (avec le lemme qui précède)
- §V.3 Une somme de $p$ s.e.v. est directe si et seulement si le vecteur nul se décompose de manière unique sur cette somme.
- §VI.1 Si $u$ et $v$ commutent, alors $\ker(u)$ et $\mathrm{im}(u)$ sont stables par $v$.
- §VI.3 Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.
Savoir-faire attendus
- Utiliser trace, rang et déterminant pour étudier si deux matrices sont semblables (ex. 4)
- Prouver que deux matrices sont semblables par analyse-synthèse (ex. 4, TD 1.11)
- Expliciter un polynôme d'endomorphisme sans erreur sur la nature des objets (ex. 11)
- Utiliser un polynôme annulateur pour prouver qu'une matrice est inversible et exprimer son inverse (ex. 15)
- Utiliser un polynôme annulateur pour calculer les puissances d'une matrice (ex. 16)
- Trouver l'équation d'un hyperplan donné par une de ses bases (ex. 17)
- Donner une base d'un produit cartésien (exemples à la fin du §V.1)
- Prouver (ou infirmer) qu'une famille de plus de 2 s.e.v. est directe (ex. 19)
- Exploiter la dimension pour établir que des espaces sont supplémentaires (ex. 21)
- Déterminer une base d'un noyau de matrice par calcul du rang, théorème du rang, recherche de combinaisons de colonnes nulles et preuve de liberté (TD 1.11)
- Construire un raisonnement en algèbre linéaire (TD 1.14 Q3, 1.17)