On y était.

via la preuve de la densité, on a prouvé que si G est dense dans R (avec G pas R) alors pour tout y de R, on peut construire une suite injective d'éléments de G qui converge vers y.
Donc avec y=arccos(x), on a une suite $((p_n,q_n))_n$ injective avec $(p_n \theta + q_n 2 \pi)_n$ qui converge vers y donc $(cos(|p_n| \theta))_n$ converge vers $x$ (parité)

On bloquait sur la contradiction, si on suppose (|p_n|)_n bornée quitte à extraire $(|p_{\Psi(n)}|)_n$ est constante (converge puis stationnaire via les valeurs entières), donc quitte à extraire de nouveau $(|q_{\Psi(n)}|)_n$ est constante (idem convergente par comb lin) ce qui contredit l'injectivité de la densité!