Hugoprépas 3

Révisions

• Utilisation de polynômes annulateurs pour la réduction (cours de réduction, §I.2 et surtout §VI). À peu près personne ne semblait connaître ces parties du cours, si ça continue, je vais sévir (!).
• DL usuels : $X \mapsto \frac{1}{1-X}$, $X \mapsto \frac{1}{1+X}$, $X \mapsto \ln(1+X)$, $X \mapsto \frac{1}{1+X^2}$, $X \mapsto \arctan(X)$, $X \mapsto \mathrm{e}^X$, $X \mapsto \mathrm{ch}(X)$, $X \mapsto \mathrm{sh}(X)$, $X \mapsto \cos(X)$, $X \mapsto \sin(X)$, $X \mapsto \tan(X)$ (jusqu'à l'ordre 4 seulement), $X \mapsto (1+X)^\alpha$ où $\alpha \in \mathbb{R}$ constante fixée.
• Primitives usuelles : cf. cours d'intégration §I.
• Intégration par parties pour les intégrales sur un segment (1ère année)
• Formule de changement de variable pour les intégrales sur un segment (1ère année).

Cours à savoir

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : en totalité.
• Intégrales généralisées : §I Calcul de primitives : rappels et compléments, §II Intégrale d'une fonction cpm sur un segment, §III Intégrale d'une fonction sur un intervalle quelconque, §IV Théorèmes de comparaison et fonctions intégrables.

Démonstrations à savoir

Intégrales généralisées

• §III.1 Linéarité de l'intégration sur $[a, b \,\mathclose{[}$
• §III.1 Stricte positivité de l'intégration sur $[a, b \,\mathclose{[}$
• §III.3 Intégrales de référence : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} \, \mathrm{d} t$, $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\lambda t} \, \mathrm{d} t$, $\int_0^1 \frac{1}{t^\alpha} \, \mathrm{d} t$, $\int_0^1 \ln(t) \, \mathrm{d} t$.

Savoir-faire attendus

Intégrales généralisées

• Ne pas confondre une fonction $f$ et l'expression de ses images $f(x)$ ; utiliser l'écriture $x \mapsto f(x)$ à bon escient ;
• Primitiver une fonction usuelle en précisant les intervalles de validité possibles (§I.1)
• Primitiver une combinaison linéaire (§I.1)
• Combiner le formulaire avec un changement de variable (primitives de $x \mapsto f\bigl( u(x) \bigr) \times u'(x)$) (ex. 1)
• Déterminer sans erreur la structure de la décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle (ex. 2)
• Déterminer efficacement les coefficients dans une décomposition en éléments simples (ex. 2)
• Primitiver une fonction rationnelle (ex. 3)
• Savoir identifier une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque (ex. 5)
• Observer sur quel intervalle exact la fonction que l'on souhaite intégrer est c.p.m. (ex. 6, 7, 8, 9 etc.)
• Déterminer la nature d'une intégrale d'une fonction définie sur un ouvert $\mathopen{]} a, b \mathclose{[}$ en traitant une extrémité après l'autre (ex. 8 Q4, ex. 12 Q4)
• Déterminer la nature et la valeur éventuelle d'une intégrale généralisée en calculant une primitive (ex. 6, 7, 8)
• Remarquer qu'une fonction est prolongeable par continuité pour prouver qu'une intégrale est convergente (ex. 9)
• Appliquer un théorème de comparaison pour déterminer la nature d'une intégrale (ex. 11, 12)
• Prouver l'absolue convergence d'une intégrale, à l'aide des extensions des théorèmes de comparaison, pour prouver sa convergence (ex. 14)
• Prêter attention aux hypothèses de convergence des intégrales lorsqu'on applique l'une des propriétés générales de l'intégration (§III. 1, ex. 7).
• (♠) Prouver que l'intégrale d'une fonction positive est divergente en minorant ses intégrales partielles (ex. 10)