(ex. $n$) renvoie à un exercice du cours ;
(TD $n.p$) renvoie à l'exercice de la feuille de TD $n$, exercice $p$ ;
(♠) indique un point plus difficile ; assurez déjà les bases avant de l'étudier.
Révisions
- Utilisation de polynômes annulateurs pour la réduction (cours de réduction, §I.2 et surtout §VI). À peu près personne ne semblait connaître ces parties du cours, si ça continue, je vais sévir (!).
- DL usuels : $X \mapsto \frac{1}{1-X}$, $X \mapsto \frac{1}{1+X}$, $X \mapsto \ln(1+X)$, $X \mapsto \frac{1}{1+X^2}$, $X \mapsto \arctan(X)$, $X \mapsto \mathrm{e}^X$, $X \mapsto \mathrm{ch}(X)$, $X \mapsto \mathrm{sh}(X)$, $X \mapsto \cos(X)$, $X \mapsto \sin(X)$, $X \mapsto \tan(X)$ (jusqu'à l'ordre 4 seulement), $X \mapsto (1+X)^\alpha$ où $\alpha \in \mathbb{R}$ constante fixée.
- Primitives usuelles : cf. cours d'intégration §I.
- Intégration par parties pour les intégrales sur un segment (1ère année)
- Formule de changement de variable pour les intégrales sur un segment (1ère année).
Cours à savoir
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées : en totalité.
- Intégrales généralisées : §I Calcul de primitives : rappels et compléments, §II Intégrale d'une fonction cpm sur un segment, §III Intégrale d'une fonction sur un intervalle quelconque, §IV Théorèmes de comparaison et fonctions intégrables.
Démonstrations à savoir
Intégrales généralisées
- §III.1 Linéarité de l'intégration sur $[a, b \,\mathclose{[}$
- §III.1 Stricte positivité de l'intégration sur $[a, b \,\mathclose{[}$
- §III.3 Intégrales de référence : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} \, \mathrm{d} t$, $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\lambda t} \, \mathrm{d} t$, $\int_0^1 \frac{1}{t^\alpha} \, \mathrm{d} t$, $\int_0^1 \ln(t) \, \mathrm{d} t$.
Savoir-faire attendus
Intégrales généralisées
- Ne pas confondre une fonction $f$ et l'expression de ses images $f(x)$ ; utiliser l'écriture $x \mapsto f(x)$ à bon escient ;
- Primitiver une fonction usuelle en précisant les intervalles de validité possibles (§I.1)
- Primitiver une combinaison linéaire (§I.1)
- Combiner le formulaire avec un changement de variable (primitives de $x \mapsto f\bigl( u(x) \bigr) \times u'(x)$) (ex. 1)
- Déterminer sans erreur la structure de la décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle (ex. 2)
- Déterminer efficacement les coefficients dans une décomposition en éléments simples (ex. 2)
- Primitiver une fonction rationnelle (ex. 3)
- Savoir identifier une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque (ex. 5)
- Observer sur quel intervalle exact la fonction que l'on souhaite intégrer est c.p.m. (ex. 6, 7, 8, 9 etc.)
- Déterminer la nature d'une intégrale d'une fonction définie sur un ouvert $\mathopen{]} a, b \mathclose{[}$ en traitant une extrémité après l'autre (ex. 8 Q4, ex. 12 Q4)
- Déterminer la nature et la valeur éventuelle d'une intégrale généralisée en calculant une primitive (ex. 6, 7, 8)
- Remarquer qu'une fonction est prolongeable par continuité pour prouver qu'une intégrale est convergente (ex. 9)
- Appliquer un théorème de comparaison pour déterminer la nature d'une intégrale (ex. 11, 12)
- Prouver l'absolue convergence d'une intégrale, à l'aide des extensions des théorèmes de comparaison, pour prouver sa convergence (ex. 14)
- Prêter attention aux hypothèses de convergence des intégrales lorsqu'on applique l'une des propriétés générales de l'intégration (§III. 1, ex. 7).
- (♠) Prouver que l'intégrale d'une fonction positive est divergente en minorant ses intégrales partielles (ex. 10)