(ex. $n$) renvoie à un exercice du cours ;
(TD $n.p$) renvoie à l'exercice de la feuille de TD $n$, exercice $p$ ;
(♠) indique un point plus difficile ; assurez déjà les bases avant de l'étudier.
Cours à savoir
- Espaces vectoriels normés I : tout le chapitre.
- Suites et séries de fonctions : §I Modes de convergence d'une suite de fonctions seulement.
Démonstrations à savoir
Espaces vectoriels normés
- §I.1 $N_1$, $N_2$ et $N_\infty$ sont des normes sur $\mathbb{K}^n$
- §I.1 Deuxième inégalité triangulaire
- §I.3 Une partie $A$ de $E$ est bornée si et seulement si il existe une boule fermée contenant $A$
- §II.1 Unicité de la limite
- §II.2 Opérations sur les limites : passage à la norme, produit par un scalaire, somme
- §II.3 $\forall\,x\in \mathbb{K}^n : \quad \|x\|_1 \leq \sqrt{n}\,\|x\|_2, \enspace \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\,\|x\|_\infty, \enspace \|x\|_\infty \leq \|x\|_1$.
- §II.3 $\spadesuit$ Convergence coordonnée par coordonnée en dimension finie
Suites et séries de fonctions
- §I.2 $N_\infty^I \colon f \mapsto \sup_I \bigl| f \bigr|$ est une norme sur l'espace $\mathcal B(I, \mathbb K)$ des fonctions bornées de l'intervalle $I$ dans $\mathbb K$
- §I.3 La convergence uniforme entraîne la convergence simple
- §I.5 Le produit de deux fonctions de carré intégrable est une fonction intégrable (avec le lemme $\forall a, b \in \mathbb R, \enspace |a\,b| \leq \frac{1}{2} \, (a^2 + b^2)$
Savoir-faire attendus
Espaces vectoriels normés I
- §I.1 Montrer qu'une application est une norme (normes usuelles sur $\mathbb{K}^n$, ex. 1)
- §I.1 Connaître les règles de calcul sur les normes
- §I.1 Majorer une norme en utilisant l'inégalité triangulaire et l'homogénéité
- §I.3 Montrer qu'une partie/une suite/une fonction sont bornées en majorant des normes
- §II.1 Prouver une conjecture « $u_n \to \ell$ quand $n \to \infty$ » en montrant que $\|u_n - \ell\| \to 0$ quand $n \to \infty$, si nécessaire en majorant cette norme (ex. 2, preuve des opérations sur les limites...)
- §II.3 En dimension finie, étudier une convergence en travaillant coordonnée par coordonnée
Suites et séries de fonctons
- §I.1 Étudier la convergence simple d'une suite de fonctions et conclure proprement
- §I.2 Majorer $\| f \|_\infty^I$ en majorant les $|f_n(x)|$ pour $x \in I$ (ex. 3)
- §I.2 Calculer la valeur exacte de $\| f \|_\infty^I$ par étude de fonctions (ex. 5)
- §I.2 Calculer la valeur exacte de $\| f \|_\infty^I$ en majorant par une valeur atteinte (ex. 4)
- §I.3 Prouver la convergence uniforme en établissant la convergence simple vers $f$, puis en majorant $\| f_n - f \|_\infty^I$ par une quantité évanescente (ex. 6) ; en la calculant exactement (ex. 7)
- §I.3 Nier la convergence uniforme à l'aide d'une suite $(x_n)_{n\geq 0}$ telle que $|f_n(x_n) - f(x_n)|$ ne tend pas vers 0 (ex. 9)
- §I.4, §I.5 Établir qu'une fonction est intégrable, de carré intégrable
- §I.4, §I.5 Étudier la convergence en moyenne, en moyenne quadratique (ex. 10, 11)
- §I.6 Établir la convergence uniforme sur tout segment (ex. 12)