Hugoprépas 3

Cours à savoir

• Suites et séries de fonctions : en totalité.
• Séries entières : §I Notion de série entière, §II Rayon de convergence, §III Modes de convergence, conséquence sur la somme.

Démonstrations à savoir

Suites et séries de fonctions

• §II.1 Continuité de la fonction limite (cas de la convergence uniforme sur $I$ tout entier)
• §II.1 Interversion limite/intégrale sur un segment (cas où $a < b$)
• §III.3 La convergence normale entraîne la convergence simple et uniforme

Séries entières

• §II.1 Lemme d'Abel
• §III.1 Une série entière de la variable réelle converge normalement sur tout segment de son intervalle ouvert de convergence
• §III.2 Continuité de la somme d'une série entière de la variable réelle
• §III.2 Dérivation terme à terme de la somme
• §III.2 Caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ de la somme
• §III.3 Intégrale de la somme sur un segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence
• §III.3 Primitives de la somme d'une série entière

Savoir-faire attendus

Suites et séries de fonctons

Séries entières

• §II.1 Déterminer le rayon de convergence d'une série entière en observant les propriétés de la suite $(a_n \, r^n)_{n \geq 0}$ ou de la série numérique $\sum_{n\geq 0} a_n \, r^n$ (ex. 4)
• §II.2 Déterminer un rayon de convergence en utilisant la règle de d'Alembert (ex. 5)
• §II.2 Utiliser un théorème de comparaison pour étudier un rayon de convergence (ex. 6)
• §II.3 Calculer le produit de Cauchy de deux séries entières ; exploiter le résultat sur sa somme (ex. 8, 9)
• §II.3 Exploiter que la multiplication/division par $n$ des coefficients ne modifie pas le rayon de convergence (ex. 10)
• §III.1 Exploiter qu'une série entière converge normalement sur tout segment de son intervalle ouvert de convergence (et rien de plus en général !) (ex. 12, preuves des théorèmes des §III.2 et §III.3)
• §III.2 Dériver/intégrer terme à terme une série entière (ex. 14, 15, 16)