Hugoprépas 3

Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. On suppose rg$(u) LTXleq$rg$(v)$, quel est le rang maximum de $uLTXcirc v$

1. rg$(u)+$rg$(v)$
2. rg$(v)$
3. rg$(u)$
4. rg$(v)-$rg$(u)$

Soit $A$ une matrice inversible de $M_n(LTXmathbf{C}$. Laquelle des ces applications est linéaire?

1. $M LTXin M_n(LTXmathbf{C}) LTXmapsto AMA^{-1}$
2. $M LTXin M_n(LTXmathbf{C})LTXmapsto MA^tM$
3. $M LTXin M_n(LTXmathbf{C})LTXmapsto A+M$
4. $M LTXin M_n(LTXmathbf{C})LTXmapsto AM^{-1}$

Quel est le rang de l'application $MLTXin M_n(LTXmathbf{R}) LTXmapsto ^tM+M$ ?

1. $n^2$
2. $n$
3. $LTXfrac{n(n+1)}{2}$
4. $LTXfrac{n(n-1)}{2}$

Laquelle de ses applications linéaires admet un rang?

1. $PLTXin LTXmathbf{R}[X] LTXmapsto P LTXcirc (X^2+1)$
2. $PLTXin LTXmathbf{R}[X] LTXmapsto LTXint_0^1 P(t) dt$
3. $PLTXin LTXmathbf{R}[X] LTXmapsto (X^2+1)P$
4. $P LTXin LTXmathbf{R}[X] LTXmapsto P'$

Soient $A$ et $b$ deux matrices de $M_n(LTXmathbf{C})$. Alors $AB$ et $BA$ ont toujours

1. même trace
2. même diagonale
3. même rang
4. même noyau

Soit $s$ une symétrie de $E$ de dimension $n$ par rapport à un sous-espace vectoriel de dimension $p$. Que vaut sa trace?

1. tr$(s)=p$
2. tr$(s)=n$
3. tr$(s)=2p-n$
4. tr$(s)=n-2p$

Si la matrice $A$ est semblable à son inverse dans $M_n(LTXmathbf{C})$, alors

1. tr$(A)=0$
2. $LTXdet(A)=LTXpm 1$
3. $A^2=I_n$
4. cette situation ne peut pas se produire